过抛物线y^2=kx的焦点且倾斜角为135度的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程

假设k>0,

焦点(k/4,0)
倾斜角为135度
所以斜率=tan135度=-1
所以直线是y-0=-(x-k/4)
代入抛物线
[-(x-k/4)]^2=kx
x^2-kx/2+k^2/16=kx
所以x^2-3kx/2+k^2/16=0

假设两个交点是A(x1,y1),B(x2,y2)
因为x^2-3kx/2+k^2/16=0
则由韦达定理
x1+x2=3k/2
准线x=-k/4
则A和B到准线距离分别是x1-(-k/4)=x1+k/4和x2-(-k/4)=x2+k/4
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
弦长为8
所以(x1+k/4)+(x2+k/4)=8
x1+x2+k/2=8
3k/2+k/2=8
k=4

若k<0,则由对称性可知k=-4

所以y^2=4x,y^2=-4x